f(x)=a×2^x+a-2/2^x+1

f(x)=[a(2^x+1)-2]/(2^x+1)=a-2/(2^x+1)
因为2^x+1是增函数
所以2/(2^x+1)是减函数
所以-2/(2^x+1)是增函数
而a是常数，不影响单调性
所以a属于R

..........打点小括号啊
不然其意太大了

解析：你的原题没有歧义，是如下这样的吗？
f(x)=(a×2^x+a)-(2/(2^x+1))
由复合函数中的“同增异减”规律可知：
令t=2^x+1>1，在R上是单调递增函数；
则f(t)=at-(2/t) ；
取1<t1<t2，则要求f(t1)<f(t2)；
f(t1)-f(t2)=(at1-(1/t1))-(at2-(2/t2))
=(t1-t2)(a+(2/(t1t2)))
t1-t2<0；要f(t1)<f(t2)，则a+(2/(t1t2）)>0，
a>-2/（t1t2），
1<t1<t2，则(t1t2)>t1>1,0<1/(t2t2)<1,-2<-2/(t1t2)<0；
则a≥0即可！